.

برای اولین بار استوان بک[1]در منبع ]7[  مفهوم ارتباط یک حلقه تعویض پذیر به یک گراف را معرفی نمود. با توجه به تعریفی که او ارائه داد، هر عضو حلقه R  یک راس گراف می باشد، و دو راس x, y به هم وصل می شوند اگر و فقط اگر xy = 0  باشد.”بک” در ابتدا رنگ آمیزی

 گرافها را مورد توجه قرار داد;  او حدس زد که اعداد رنگی یک حلقه، که آن حداقل  تعداد رنگهای ضروری برای  رنگ آمیزی گراف حلقه  است بطوریکه  هیچ  دو عضو مجاور رنگ یکسانی ندارند، برابر است با اندازه  بزرگترین  زیر گراف کامل یک گراف، که آن بزرگترین زیرگراف G می باشد، بطوریکه برای همه رئوس a,b در G  , a  مجاور b  است. او همچنین همه حلقه های متناهی با عدد رنگی کمتر از چهار را طبقه بندی نمود.

درمنبع ]5[، د.د اندرسون[2] و ام. نصیر[3]  تلاش و کوشش خود را بر روی تعریفی که بک ارائه داده بود ادامه دادند. آنها نه تنها برای حدس”بک” مثال نقضی را فراهم کردند،  بلکه نتایج دیگری درحالتهایی که حدس برقرار باشد، ارایه نمودند.آنها همچنین طبقه بندی حلقه های متناهی را برای آنهایی که عدد رنگی کمتر یا برابر با چهار دارند را توسعه دادند.

یک  روش  متفاوت  دیگر  از وابسته  نمودن یک  حلقه تعویض پذیر  به  یک  گراف توسط دیوید اف اندرسون[4] و فیلیپ اس[5] ، لیوینگسون[6] در منبع ]4[  پیشنهاد داده شد. آنها معتقد بودندکه  این تعریف ساختار مجموعه مقسوم علیه صفر حلقه را بهتر  نشان  می دهد و این تعریفی است که در این تحقیق استفاده شده است.

با  توجه به تعریف اندرسون و لیوینگسون درموردگراف مقسوم علیه صفر، به بررسی ساختار دوریR))Γ پرداختند. در منبع] 6 [، ام آکستل7، جی کوی کندل8 و جی استیکلز9 با توسعه حلقه های سریهای توانی و چندجمله ای، حفظ خصوصیات  نظری گراف  مقسوم علیه صفررا آزمودند. آنها بیان کردند، حفظ خصوصیات نظری گراف با توجه به توسعه های نظری حلقه های گوناگون سئوالی جالب ومهم می باشد. اولین  نمونه از این قبیل توسعه ها که به ذهن می رسد  سریهای توانی  و  چند جمله ای است. ملاحظه می شود G® زیرگراف G(R[x]) ، که آن زیرگراف G(R[[x]])  است، می باشد. همچنین مستقیماً نشان می دهد که  diam (G®) ≤ diam (G(R[x]))  و diam (G®) ≤ diam (G(R[[x]]))  است.

از اینرو در این پایان نامه، ابتدا درفصل اول:  تعاریف و مبانی نظری و تئوریک تحقیق برگرفته از منبع [1] را مطالعه می كنیم و  به معرفی انواع گراف و  اشكال آنها می پردازیم،  در فصل دوم:  به بیان رنگ آمیزی حلقه های تعویض پذیر خواهیم پرداخت و حلقه های تعویض پذیر متناهی  با 4 R) ≤  (χ  را بیان خواهیم كرد، در فصل سوم:  قضایای گرافهای مقسوم علیه صفر و  قطرهای  حاصلضربهای  مستقیم  حلقه های تعویض پذیر را مورد بررسی قرار خواهیم داد، در فصل چهارم:  یافته های تحقیق  و تشخیص G  بعنوان  Γ®  را  بازگومی کنیم، و سرانجام در فصل پنجم:  نتیجه این تحقیق را بیان خواهیم کرد .

1  تعریف نظریه گراف.

شاخه‌ای از ریاضیات است که  درباره گراف‌ها بحث می‌کند. این مبحث در واقع  شاخه‌ای  از توپولوژی است که  با  جبر و  نظریه  ماتریس‌ها پیوند مستحکم  و تنگاتنگی دارد.

پیشرفت‌های اخیر در ریاضیات، به  ویژه در کاربردهای آن موجب گسترش  چشمگیر نظریه گراف شده است به گونه‌ای که هم‌اکنون نظریه گراف ابزار بسیار  مناسبی  برای  تحقیق  در زمینه‌های گوناگون  مانند نظریه کدگذاری، تحقیق در عملیات،  آمار،  شبکه‌های  الکتریکی، علوم رایانه،  شیمی،  زیست‌شناسی، علوم اجتماعی و سایر زمینه‌ها گردیده است.