و تاریخچه

اولین بار اصطلاح معادله ی انتگرال به وسیله ریموند پیشنهاد شد .لاپلاس در سال 1782 یک معادله انتگرال برای تابع  به صورت زیر ارائه داد:

فوریه در سال 1811 روی نظریه حرارت کار کرد و مقالاتی از خود بر جای گذاشت. آبل[4] نیز در سال 1823در مسئله ی خود که به مسئله ی مکانیکی آبل معروف است کاربرد معادلات انتگرال را مطرح کرد .در سال 1826 پواسن[5] در نظریه مغناطیس خود،نوعی معادله انتگرال را مطرح کرد .لیوویل به طور مستقل معادلات انتگرال خاصی را از سال 1832 به بعد حل کرد .پوانکاره در سال 1896 معادله انتگرالی را بدست آورد که متناظر با یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی و مربوط به حرکت موج بودوبه صورت زیر بود:

که البته فردهلم جهت بدست آوردن جواب های این معادله تحقیقات زیادی انجام داد .به هر حال ولترا اولین کسی بود که در اواخر قرن 19 نظریه عمومی معادلات انتگرال را ارائه داد . ارائه یک سمینار توسط  هولمگر در سال 1901 بر روی کارهای فردهلم علاقه هیلبرت[6] را برانگیخت و او در بسیاری از مسایل ریاضی فیزیک از معادلات انتگرال کمک گرفت وفرموله کردن مساله ی معادلات دیفرانسیل مقدار مرزی به صورت معادله انتگرال از کارهای مهم وی بوده است.

واز آن زمان به بعد تاعصرحاضرمعادلات انتگرال موضوع تحقیقات ریاضیدانان زیادی بوده است ،زیرا آنها به طور پیوسته به مسایل جدید وجالبی برخورد می کنند . قضایای فردهلم[7] ازقضایای بنیادی معادلات انتگرال هستند . از آنجا که این قضایاابتدا توسط فردهلم برای هسته های پیوسته ارائه شدندلیکن بعداً توسط افراد دیگری برای هسته های کلی تری تعمیم یافتند . لذا لازم است از کار کارلمن که در این راه نقش عمده ای داشته است یادنمود .

کاربرد معادلات انتگرال- دیفرانیسل به طور دایم در حال افزایش است مانند معادله فیشر در زیست شناسی یا معادلات انتگرال دیفرانسیلی که برای درونیابی معادلات گرما وموج کاربرد دارند.

برای حل معادلات انتگرال دیفرانسیل نیز روش های مختلفی وجود داردکه ازجمله می توان به روش های عددی ذکر نمود که در این پژوهش از روش عددی مبتنی بر توابع موجک وماتریس های عملیاتی آنها استفاده شده است.

روشهای طیفی خانواده ای بزرگ از روشهای حل معادلات عملگری می باشند که در دو دهه اخیر به طور وسیعی گسترش یافته اند . این روشها در حل مسائلی از علوم و مهندسی بسیار کارا و موثرند و قدمتی به اندازه درونیابی و بسط توابع دارند اولین الگوریتم روشهای طیفی درسال  1983 ارائه شد.

در روشهای طیفی عملگرهای توصیف کننده سیستم را با استفاده از پایه های سیستم نظیرسری فوریه وانواع چندجمله ایهای  متعامد و غیر متعامد و توابع قطعه ای پیوسته و همچنین ماتریسهای عملیاتی مناسب مربوط به پایه ها ، تبدیل به یک دستگاه معادله جبری خطی یا غیر خطی می کنند سپس با روشهای مناسب به حل دستگاه معادلات مربوطه می پردازند .

پایه هایی که برای روشهای طیفی به کار می روند را می توان به دو گروه پایه ای متعامد و غیر متعامد تقسیم کرد .

گروه پایه های متعامد رانیزمی توان به سه دسته : چند جمله ایهای متعامد ، توابع مثلثی  و توابع قطعه ای پیوسته (بلاک – پالس ، هار ، والش و پایه های ترکیبی و …) تقسیم بندی کرد .

دراین تحقیق از توابع پایه ای مختلفی استفاده شده است که از جمله آنها پایه های متعامد وموجکها می باشند. استفاده ازتوابع پایه ای قطعه ای بامعرفی توابع هار در سال 1910 شروع شد . ازجمله توابع پایه ای قطعه ای  می توانیم توابع والش نام برد . وازمیان تمام توابع پایه ای قطعه ای توابع بلاک – پالس به عنوان اساسی ترین و کارا ترین این نوع توابع است که برای تجزیه و تحلیل سیستم های کنترلی و کاربرد آنها به کاررفته است