ریاضیات فازی برای نخستین بار توسط پرفسور لطفی عسگرزاده در سال ۱۹۶۵ مطرح گردید. از زمان ارائه آن تا کنون، گسترش و تعمیق زیادی یافته و کاربردهای گوناگونی در زمینههای مختلف پیدا کرده است.
معرفی ریاضیات فازی مقدمات مدلسازی دادههای نادقیق و تقریبی با معادلات ریاضی را فراهم نمود، که در نوع خود تحولی عظیم در ریاضیات و منطق کلاسیک بهوجود آورد. ریاضیات فازی با این عبارت، توسط پروفسور لطفی عسگرزاده مطرح شد:
« ما نیازمند یک نوع دیگری از ریاضیات هستیم تا بتوانیم ابهامات و عدم دقت رویدادها را مدلسازی نماییم، مدلی که متفاوت از نظریه احتمالات است. »
برای بیان تشریح عدم قطعیت و دقت در دادههای نادقیق، ریاضیات فازی بهکار میرود، که بر اساس منطق چند ارزشی بهوجود آمده است.
منطق فازی در واقع تکامل یافته و عمومی شده منطق کلاسیک است. در منطق کلاسیک که منطق دو ارزشی است، هر گزاره میتواند درست یا نادرست باشد. در حالی که منطق فازی، یک منطق چند ارزشی است و ارزش درستی هرگزاره میتواند عددی بین صفر و یک باشد. لذا قضاوت تقریبی و نادقیق با بهکارگیری منطق فازی ممکن میشود.
به بیان سادهتر، نظریه مجموعههای فازی نظریهای است برای اقدام در شرایط عدم اطمینان. این نظریه قادر است بسیاری از مفاهیم و متغیرها و سیستمهایی را که نادقیق و مبهم هستند، همانگونه که در دنیای واقعیت نیز اکثر پدیدهها بدینصورت میباشند، صورت ریاضی بخشیده و زمینه را برای استدلال، استنتاج، کنترل و تصمیمگیری در شرایط عدم اطمینان آنها فراهم آورد. به عبارت دیگر نظریه
مجموعههای فازی تعمیمی از نظریه مجموعههای معمولی میباشد.
همانطور که می دانیم در نظریه مجموعهها که زیربنای ریاضیات مدرن است، مجموعهها به صورت گردایهای معین از اشیاء تعریف میشوند.
به عبارت دیگر هر مجموعه با یک ویژگی خوشتعریف مشخص میشود اگر یک شیء مفروض دارای آن ویژگی باشد، عضو مجموعهی متناظر است و اگر نباشد، عضو آن نیست.
به عنوان مثال اگر مجموعهی مرجع X ، مجموعهی اعداد حقیقی فرض شود و P ویژگی (( بزرگتر از ده بودن ))، آنگاه P یک ویژگی خوشتعریف است که یک مجموعه مثلاً A با آن متناظر میشود، زیرا برای هر عدد از مجموعهی اعداد حقیقی میتوان با قاطعیت گفت که آیا آن عدد بزرگتر از ده است یا خیر و بنابراین عضو A است یا خیر؟
حال فرض کنید بخواهیم دربارهی آن دسته از مجموعهی اعداد حقیقی صحبت کنیم که (( بزرگ )) باشند. در اینجا با یک ویژگی ناخوشتعریف و مبهم یعنی (( بزرگ )) سروکار داریم. اینکه چه اعدادی بزرگ بوده و چه اعدادی بزرگ نیستند، بسته به نظر افراد مختلف فرق میکند.
به عبارت دیگر عضویت و یا عدم عضویت اعداد مختلف در گردایهای با ویژگی
(( بزرگ بودن )) قطعی نیست. به عنوان مثال آیا ۱۰۰ عددی (( بزرگ )) است و عضو گردایهی اعداد حقیقی بزرگ است یا خیر؟ ۱۰۰۰ چطور؟ ۱۰۰۰۰۰۰ چطور؟
می بینیم که ویژگی (( بزرگ بودن )) برای اعداد حقیقی یک ویژگی دقیق و معین نیست و بنابراین جامهی نظریهی معمولی مجموعهها بر تن اینگونه مفاهیم راست نمیآید و این نظریه از صورتبندی این مفاهیم و ویژگیها ناتوان است. از قضا بیشتر مفاهیم و ویژگیهایی که در زندگی روزمره و واقعی و نیز در شاخههای مختلف علوم بهویژه علوم انسانی و اجتماعی با آن سروکارداریم اینگونهاند.
یعنی مفاهیمی هستند منعطف و مجموعههایی هستند با کرانهای نادقیق. برای مثال ما در زندگی واقعی کمتر ازکودکان بلندقدتر از( ۱۱۰ cm )، زمینهای بزرگتر از ( ۱۰ هکتار )، مسافتهای طولانیتر از ( ۱۰۰ km ) و … صحبت می کنیم بلکه فهم و زبان طبیعی ما بیشتر با مفاهیمی مانند کودکان بلندقد ( یا کوتاهقد، خیلی کوتاه و … )، زمینهای وسیع ( کوچک، خیلی وسیع و … )، اجناس گران ( ارزان، خیلی ارزان، تقریباً گران، … ) سروکار دارد . همچنین در علوم بهویژه علوم انسانی و اجتماعی بهجای صحبت از کشورهای دارای ۱۰۰۰ کارخانه به بالا، شهرهای با جمعیت بیشتر از ۱۰۰۰۰۰۰ نفر و … ، با مفاهیم و عباراتی نظیر جوامع پیشرفته صنعتی، فرهنگهای بومی، تراکم جمعیت زیاد، کودکان کندذهن و … سروکار داریم. هیچکدام از این مفاهیم وتعاریف، تعاریف دقیقی نیستند که بهتوان برای هر کدام مجموعههایی دقیق را تصور کرد.
در قلمرو ریاضیات و نظریه مجموعههای کلاسیک جایی برای این مفاهیم نیست و قالبی برای صورتبندی این مفاهیم و ابزاری برای تجزیه وتحلیل آنها وجود ندارد.
نظریهی مجموعههای فازی یک قالب جدید ریاضی برای صورتبندی و تجزیه و تحلیل این مفاهیم و ویژگیهاست. این نظریه، تعمیم و گسترش طبیعی نظریهی مجموعههای معمولی است، که موافق با زبان و فهم طبیعی انسانها نیز میباشد.
اکنون سعی میکنیم با پیگیری مثال فوق درمورد (( اعداد حقیقی بزرگ )) نظریه مجموعههای فازی را با بیانی ساده و مختصر مطرح نماییم.
همانطور که ملاحظه میشود، آنچه در مجموعه (( بزرگ )) بودن اشکال ایجاد میکند، معلومنبودن عضویت و یا عدم عضویت اعداد در گردایهی (( اعداد بزرگ )) است. بنابر پیشنهاد پرفسورزاده در مجموعهی فازی که برای (( اعداد حقیقی بزرگ )) در نظر میگیریم؛ به هر عدد از مجموعهی اعداد حقیقی، عددی از بازه ی [۰,۱] به عنوان درجهی بزرگی آن عدد نسبت میدهیم.
هر چه یک عدد بزرگتر باشد ؛ عدد متناظری که برای عضویت آن در A ((مجموعه اعداد بزرگ )) در نظر گرفته میشود به یک نزدیکتر است. و بهعکس هر چه عدد مورد نظر کوچکتر باشد؛ عدد مربوط به عضویت آن در A، به صفر نزدیکتر خواهد بود. به اینترتیب بهجای اینکه بگوییم عدد ۱۰۰۰ بزرگ میباشد یا خیر، و یا آنکه در این باره ساکت باشیم؛ میگوییم:
درجه ی بزرگی آن، به عنوان مثال ۰/۷ است. به بیان سادهتر بهجای آنکه بگوییم، عدد ۱۰۰۰ عضو A هست یا خیر، میگوییم:
عدد ۱۰۰۰ با درجه ۰/۷ عضو A می باشد.
بنابراین ما در این مثال برای هر عدد حقیقی از R ، عددی از بازهی را به عنوان درجه عضویت و تعلق از A نسبت میدهیم. یعنی یک تابع در نظر بگیریم که قلمرو آن R و بُرد آن [۰,۱] باشد.
ملاحظه فرمودید که، موفق شدیم به یک قالب ریاضی دستیابیم؛ به دیگر سخن، یک تابع از R به [۰,۱] برای توصیف و تجزیه و تحلیل (( اعداد حقیقی بزرگ )) معرفی نمودیم.
همانطور که مشاهده نمودهاید، اساس روش ِ بیانشده در بالا چیزی نیست جز؛ گسترش مفهوم تابع نشانگر ِ یک مجموعه، یعنی بُرد آنرا از {۰,۱} به [۰,۱] افزایش دادیم.
به دیگر سخن؛ در مجموعههای فازی تابعیت هر عنصر در یک مجموعه بر حسب درجهی عضویت آن در مجموعه مذکور است. این دیدگاه پایه و اساس مجموعهها و منطق فازی بوده که پرفسور لطفی عسگرزاده مطرح نمود.
از پیدایش تئوری فازی تقریبا ً چهار دهه میگذرد. هرچند درابتدا این تئوری با مقاومتهای گوناگون مواجه شد، لیکن امروزه در اکثر مراکز علمی و دانشگاهی، تجاری، صنعتی و حتی سیاسی مورد توجه دانشمندان، کارشناسان و مدیران قرار گرفته است. کاربردهای تئوری فازی فراوان بوده؛ و در رشتههای مختلفی از جمله هوشِ مصنوعی، سیستمهای خبره، سیستمهایاطلاعاتی، علوم کامپیوتر، مهندسی برق و الکترونیک، مهندسی کنترل، برنامهریزی، تئوری تصمیم، منطق، مدیریت علمی، تحقیقدرعملیات، رباتیک، اقتصاد، علومِ پزشکی، روانشناسی، جامعهشناسی ، برنامهریزی تولید، برنامهریزی زمانبندی و … این کاربردها را میتوان بهوفور مشاهده نمود.
به اینترتیب؛ میتوان بسیاری از مفاهیم بیگانه با ریاضیات را وارد دنیای ریاضیات کرده، تفکرات و مفاهیم و زبان و منطق بشری را در یک ساختار ریاضی نظم و ترتیب داد.
در فصل حاضر، تعاریف و مفاهیم مقدماتی نظریهی مجموعههای فازی را مطرح و بررسی مینماییم.
